Sommaire

I. Approche locale : stabilité autour d’un point d’équilibre

II. Approche globale : fonctions de Lyapunov

III. La commande vue au moyen des fonctions de Lyapunov

IV. La robustesse à travers les fonctions de Lyapunov

V. Extension : technique du back-stepping

Présentation

• d’une part, l’observation de la nature et des objets techniques nous révèle la structure profondément non- linéaire des systèmes qui nous entourent, et ce de manière parfois si dure que les non linéarités ne peuvent pas toujours être contournées. Il semble donc nécessaire d’attaquer cette affaire au fond.
• d’autre part, les difficultés mathématiques qui apparaissent sont grandes, et l’on sait rarement obtenir la solution explicite de la trajectoire d’un système non-linéaire. Les calculateurs, munis de leurs algorithmes d’intégration, ne savent pas résoudre tous les problèmes , et conduisent même parfois l’analyste dans des pièges redoutables.

Illustration : réponse à un échelon, cas stable et cas instable

Représentée dans le plan de phase, la trajectoire d’un système du second ordre avait alors par exemple les allures suivantes :

On se souvient en particulier qu’un système linéaire ne possèdait qu’un seul point d’équilibre (stable ou instable).

I.2 Points d’équilibre d’un système non linéaire et comportement au voisinage.

Dans l’étude des systèmes non-linéaires, on se heurte à plusieurs difficultés lorsqu’on tente de raisonner comme dans le cas linéaire :

• l’analyse par les fonctions de transfert est impossible, car la transformation de Laplace est de peu d’utilité : il résulte par exemple des multiplications temporelles de variables des convolutions fréquentielles. (Ceci formalise la distorsion, qui donne une sortie non sinusoïdale lors de l’ essai harmonique). La notion de pôles doit être revue.
• un système peut fort bien être stable dans une région donnée, et instable dans une autre. L’exemple classique en est le pendule, qui veut bien rester à son point d’équilibre bas, mais pas à celui d’en haut …

Les points d’équilibre sont donnés par : F(x,u) = 0 et on peut en rencontrer un nombre quelconque. Soit x_e une solution de F(x,u) = 0

On retrouve le cas linéaire lorsque F(x,u) = A.x + B.u, qui n’a comme point d’équilibre que - si A est inversible - x_e= - A^-1.B.u . C’est un point d’équilibre stable si les valeurs propres de A sont dans le ½ plan complexe gauche, ces valeurs pro pres étant égales aux pôles du système.

Pour des mouvements infinitésimaux autour d’un point d’équilibre, un système non linéaire ressemble au système linéaire obtenu par développement limité à l’ordre 1. On peut étudier l’équilibre autour de ce point à l’aide du linéaris&e acute; tangent défini en x=x_e par :

au point x = x_e.

Théorème n°1  (première méthode de Lyapunov)

L’équilibre non linéaire est stable au point x=x_e si les valeurs propres de A sont toutes à partie réelle strictement négative, instable si l’une au moins est à partie réelle positive. Dans le cas où des valeurs propres sont nulles (le s autres étant à partie réelle négative), alors le développement à l’ordre 1 est insuffisant pour conclure.

Exemple (système non commandé)

qui possède comme points d’équilibre :  en lesquels la matrice jacobienne vaut, respectivement en chaque point :

dont les valeurs propres sont, respectivement :

v.p. @ 0.618 ; - 1.618 instabl e (" col " )

v.p. @ -0.5 + 1.323 i ; - 0.5 - 1.323 i stable (" foyer &quo t;)

v.p. @ -0.5 + 1.323 i ; - 0.5 - 1.323 i stable (" foyer &quo t;)

ce qui donne comme exemple de réponse temporelle (condition initiale [0 ; - 4])

Le nombre de points d’équilibre de chaque type est tel que :

formule établie par Poincaré.

Des détails peuvent être trouvés dans le livre de Gille, Decaulne et Pélegrin, ainsi que dans " Chaos et déterminisme ", collection Points, Editions du seuil)

I.3 Domaine d’attraction d’un point d’équilibre stable

Le théorème précédent est seulement local : on ne peut rien dire pour un état initialement situé loin de x=x_e.

Différentes méthodes (non étudiées ici. Voir le livre de Khalil, "Non linear systems ") permettent d’estimer un domaine entourant x=x_e dans lequel toute trajectoire convergera vers l’équilibre. Mais ce ne sont que des estimati ons, parfois médiocres.

Or , l’automaticien doit absolument se soucier de la zone de validité de son étude de stabilité : si une perturbation devait entrainer le système hors du domaine d’attraction de l’équilibre visé, le contrôle pourrait être perdu.

I.4 Utilisations de la première méthode de Lyapunov

Utilisée à des fins d’analyse, cette méthode est un préliminaire important pour connaître les propriétés d’un point d’équilibre.

En ce qui concerne la synthèse de loi de commande, le contrôleur linéaire obtenu ne peut être optimisé qu’en un voisinage du point d’équilibre recherché. A partir d’une certaine distance, le contrôleur aura sans doute des performances médiocres, ou même conduira à une i nstabilité du système. Par exemple, les correcteurs d’excitation PID des génératrices synchrones ne sont efficaces qu’autour d’un point de fonctionnement, et il faut prévoir des sécurités particulières pour des marches accidentelles.

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