Soit le système non-linéaire suivant :

Le comportement de ce système est décrit par trois systèmes linéaires ; étudions tout d'abord ce comportement pour  :

Le système possède alors un point d'équilibre  . Déplaçons l'équilibre en posant le changement de variable :

L'équation s'écrit dans le nouvel espace d'état :

qui possède un point d'équilibre en  .

Ecrivons cette équation différentielle sous forme d'état :

et représentons-la dans la base des vecteurs propres de la matrice d'état A, dont les valeurs propres sont :

Afin de ne pas alourdir cette présentation, effectuons dès à présent une application numérique :

f=55.10^-3N.m / rad.s^-1 , J=20.10^-3 kg.m² et K=0,1 (valeurs choisies pour avoir une réponse pseudo-oscillante). On a dans ce cas :

Soit la matrice : 

Le système différentiel : 

est obtenu à partir du système différentiel : 

par le changement de variable ( changement de base ) :

z = V . j ; A = V . D . V^-1 avec :

(matrice réelle de vecteurs propres).

Il est très intéressant d'étudier la réponse du système :

sous sa forme polaire en posant :

On a :

et aussi :

En partant par exemple de : r² = z₁² + z₂² et en dérivant, on a :

d'où l'on tire :

De même, on peut écrire :

Par conséquent, pour un état initial :  , le système évolue selon l'équation :

L'équation d'état du système représenté sous forme polaire dans l'espace d'état {z₁ , z₂}est :

Elle définit un système parfaitement découplé : l'évolution de r(t) est indépendante de celle de q(t).

La trajectoire dans le plan (z₁ , z₂ ) est ainsi une spirale logarithmique. Si a = 0 , les trajectoires sont des cercles dont le centre est l'origine.

Dans l'espace d'état initial  , les trajectoires sont les transformées des trajectoires dans le plan (z₁ , z₂ ) par :

Or, dans le plan (z₁ , z₂ ), un cercle centré sur l'origine a pour équation : 

qu'on peut aussi écrire sous forme quadratique :

Dans le repère initial , les cercles sont transformés en :

soit encore :

On montre dans les ouvrages d'algèbre linéaire appliquée à la géométrie que les axes de cette ellipse sont les directions propres de la matrice symétrique (V.V^T)^-1 .La direction propre associée à la plus grande valeur propre est celle du petit axe (resp. : la plus petite valeur propre : le grand axe). [La longueur d'un axe est l'inverse de la racine carrée de la valeur propre associée.]

(N.B.: si l'une des valeurs propres est nulle, le problème est compliqué : l'un des axes est infini.)

Dans notre cas, on a :

valeur propre	vecteur propre
0,0955	grand axe
0,9045	petit axe

Les trajectoires de notre système dans le repère initial sont des "spirales logarithmiques elliptiques" (cette terminologie n'est pas académique !) ; un exemple de trajectoire coupant les ellipses "équidistance" est représentée ci-dessous :

Revenons à présent au système non linéaire d'origine, sujet de notre étude. La première équation a un point d'équilibre en :

La seconde équation a un point d'équilibre en :

La troisième équation admet tout l'axe  comme équilibre.

Chacune de ces équations détermine une famille de trajectoires, la commutation de l'une des familles vers une autre étant déterminée par le passage à la vitesse nulle. Si la vitesse s'annule pour q₁ < q < q₂ , alors la vitesse reste nulle, et le système est bloqué dans la troisième équation. Le couple moteur ne peut compenser le frottement sec, il y a arrêt du système même si l'erreur de position n'est pas nulle.

Cette erreur est aléatoire si l'état initial est aléatoire.

Une trajectoire est représentée ci-dessous :

La trajectoire aux derniers instants du mouvement apparaît comme prévu :

Le frottement sec était : C₀ = 0.02 N.m , le point de consigne (1,0), le gain K=0.1 , ce qui détermine le segment d'arrêt : 0.8 < q < 1.2

Une autre illustration est donnée ci-dessous ; elle concerne le cas sans frottement, c'est à dire celui d'un système non dissipatif, dont les trajectoires libres sont fermées (aucun amortissement ne rapproche le mobile de l'origine). Ces trajectoires sont des ellipses, mais on a pris pour l'illustration :

ce qui donne des trajectoires circulaires.

La consigne est choisie égale à : q_c = 1 et le couple de frottement sec C₀ = 2, ce qui donne un arrêt du système sur l'intervalle [-1 ; 3].

Les trajectoires sont des cercles centrés soit sur (-1,0) , soit sur (3,0). C'est ce qu'illustre la figure suivante, on l'on constate la commutation d'une famille de trajectoires à l'autre au passage à vitesse nulle et l'arrêt en un point dépendant de l'état initial.

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