Résumé : Ici, on présente succinctement le principe de la commande par modes glissants, sur l'exemple désormais classique d'un double intégrateur. Puis cette technique est appliquée à la commande en position d'un moteur pas-à-pas. Deux lois de commande sont développées, et des résultats expérimentaux sont présentés.

Introduction

Les modes glissants constituent une manière simple et robuste de réglage des systèmes automatiques. L'application aux actionneurs électromagnétiques ne représente qu'un cas particulier, cette technique connaissant des développements importants dans tous les domaines de la commande. Aussi allons-nous présenter le principe des modes glissants à partir d'un système générique : l'intégrateur double, qui modélise par exemple la position d'une masse actionnée par une force.

1.Notion de glissement

2.Recherche d'une commande assurant un mode glissant

3.Application à un moteur pas-à-pas

4.Résultats expérimentaux

Notion de glissement

Considérons le système suivant :

où x est la position d'un mobile, u la force appliquée, et Cr une force de résistance quelconque.

Si la commande est du type tout ou rien, alors

u = +/- U, et les trajectoires sont données par :

Pour C_r=0, ce sont des paraboles dans le plan .

L'objectif de commande étant maintenant de ramener x à l'origine, on constate que la commande bouclée avec retour de la seule position :

ne permet pas de stabiliser le système, les trajectoires en l'absence de force résistante étant périodiques, comme on peut voir sur la figure I. Il vaut mieux utiliser un retour de la forme [1]:

qui donne la convergence (figure II).
 

Figure I : commande par retour de position	Figure II : retour de position et de vitesse

La droite  de la figure II est appelée " droite de commutation ". A partir d'une certaine valeur de k, la trajectoire ne peut plus quitter la droite de commutation (figure III), et est astreinte à s'y déplacer jusqu'à l'origine. On dit que le système " glisse " sur la droite.
	Figure III : glissement

Recherche d'une commande assurant un mode glissant

La commande de la figure III a longtemps été jugée néfaste, par les effets de réticence dûs aux retards de commutation (figures IV et V) : la commande était jugée brutale et peu efficace, sollicitant fortement les organes de commande.
 

Figure IV : réticence	Figure V : réticence, allure de la vitesse

Pourtant, comme nous allons le voir, les trajectoires obtenues sont largement insensibles aux perturbations, et la dynamique du procédé peut être choisie avec une grande liberté. Notons pour l'instant que la commande tout ou rien présente l'intérêt remarquable d'être plus rapide qu'une commande linéaire bornée.

Choisissons, assez arbitrairement d'ailleurs, une courbe de commutation. Par exemple, la droite

définie plus haut :

Le but que nous recherchons est le suivant : rejoindre à partir de l'état initial la droite , puis astreindre la trajectoire à rester sur cette droite. Alors, la dynamique du système sera fixée par l'équation de la droite, et l'origine sera rejointe avec la constante de temps k.

Posons donc : S = (5)

En dérivant, il vient :

Lorsque C_r est nul, la commande :

garantit  = 0, ce qui signifie que la trajectoire est contrainte à demeurer sur la droite S sur laquelle elle se trouve. Cette droite est donc invariante en l'absence de perturbation. u_e est appelée " commande équivalente ".

Afin d'obliger le système à suivre la trajectoire imposée, il suffit à présent de rendre S = 0 attractive. Pour cela, on ajoute une commande commutante u_c à la commande équivalente u_e sous la forme :

En choisissant V assez grand :

alors la condition S.  < 0 est toujours réalisée, ce qui prouve que S = 0 est attractive et invariante, malgré C_r .

Le résultat obtenu avec la commande (9) est illustré sur les figures VI et VII. On peut y observer le ralliement de l'origine avec une dynamique du premier ordre, donnée par la valeur de k.
 

Figure VI	Figure VII

Cette commande présente les caractéristiques suivantes :

- elle est robuste, rejetant la perturbation C_r.

- il suffit de connaître une borne pour C_r, ce qui simplifie le réglage.

- le choix de la surface de commutation est assez libre.

- la commande est adoucie par la présence de la commande équivalente ; celle-ci peut cependant être supprimée, au prix d'une augmentation de V.

- on a en quelque sorte les avantages d'un système à grand gain, sans en avoir les inconvénients.

- on peut étendre la technique à des surfaces autres que des droites, de dimensions quelconques, et à des intersections d'autant de telles surfaces qu'on a de commandes disponibles.

- nulle part on n'a postulé la linéarité du système ; ce principe est utilisable avec des systèmes non-linéaires.

- on n'a pas parlé de pôles, la convergence étant prouvée par un argument élémentaire.

-on n'a pas non plus parlé de marge de stabilité, la condition (10) en tenant lieu.

De nombreuses variantes existent, visant à limiter l'effet de réticence et à optimiser les trajectoires de commande, ainsi qu'à lever les difficultés théoriques liées aux discontinuités de commande. (voir [2],[3] ).

Application à un moteur pas-à-pas

Les moteurs pas-à-pas jouent un rôle important parmi les actionneurs électriques. En effet, ils permettent le positionnement en boucle ouverte. Mais au delà de cette justification, qui limite les possibilités de précision, les moteurs pas-à-pas sont des actionneurs sans balais capables d'un couple important sans réducteur mécanique.

Ici, nous considérons un moteur à aimant permanent, à force contre-électromotrice sinusoïdale [4], et l'objectif que nous nous fixons est le pilotage en position. La précision obtenue devra être indépendante de la résolution du moteur (" nombre de pas par tour "). Nous supposons de plus que l'état est mesuré : capteurs de courant et capteur de position angulaire. Aucune hypothèse n'est faite, en revanche, sur la technologie du pré-actionneur, amplificateur linéaire ou commutateur : il s'agit simplement d'une commande en tension.

Le moteur est biphasé (ou tétraphasé avec point milieu).

Le modèle du moteur s'écrit, dans un repère a-b lié au stator :

L  = v_a -R i_a+ K W sin( N)

L  = v_b -R i_b - K W cos( N) (M1)

J = K (i_b cosN- i_a sinN) + C_r

= W

i_a, i_b : intensités dans les phases a et b

v_a, v_b : tensions aux bornes des phases a et b, considérées comme grandeurs de commande.

,  : vitesse et position angulaires du rotor

N : nombre de dents du rotor (e.g. 50 dents pour 200 pas par tour)

J : moment d'inertie ramené à l'arbre

R : résistance d'une phase statorique

L : inductance d'une phase statorique

K : coefficient de force électromotrice / coefficient de couple

C_r : couple de perturbation

Ce modèle néglige la variation de réluctance liée à la rotation, et inclus le couple de détente

- en sin( 4N) - dans C_r. Il est tout à fait semblable au modèle de la machine synchrone à aimant permanent à pôles lisses. (Pour des détails, voir [5] par exemple).

Dans un premier temps, on va chercher à commander la vitesse de rotation W par mode glissant. Après application de la transformation de coordonnées

		cos (N.)	sin (N.)
T =					(11)
		- sin(N.)	cos (N.)

on peut exprimer les courants et tensions dans le repère d-q tournant lié au rotor : v_dq = T. v_ab ; v_ab = T^-1. v_dq

i_dq = T. i_ab ; i_ab = T^-1. i_dq

et le modèle s'exprime sous la forme :

L  = v_d - R i_d + N L i_q

L  = v_q - R i_q - N L i_d - K

J = K i_q + C_r (M2)

= 

On définit aussi une trajectoire de référence obéissant au modèle, sous la forme :

L  = v_dr - R i_dr + N L _r i_qr

L  = v_qr - R i_qr - N L i_dr - K r

J_r = K i_qr (M2_r)

_r = _r

les indices r valant pour " référence ". L'élaboration des trajectoires de référence est détaillée dans [6].

Posant e = [i_d-i_dr i_q-i_qr -_r ]^T = [x₁ x₂ x₃ ]^T

et : Dv_d = v_d - v_dr ; Dv_q = v_q - v_qr

le modèle de l'écart entre la référence et la trajectoire réelle est :

L  = Dv_d - R x₁ + N L ( i_q - _r i_qr)

L  = Dv_q -R x₂ -N L ( i_d - _r i_dr) - K x₃

J = K x₂ + C_r (M2_e)

Considérons la surface suivante dans l'espace d'état : S = k x₃ +  (12)

La condition S = 0 signifie que converge exponentiellement vers sa référence.

Calculant la dérivée de S par rapport au temps:

on obtient :

expression pour laquelle la commande :

Dv_qe=K x₃ +(R -k L)x₂ +NL( i_d -_r i_dr) (15)

garantit = 0 en l'absence de la perturbation C_r et de sa dérivée . Ainsi, en l'absence de perturbation, la surface S est positivement invariante.

Afin d'assurer l'attractivité de la surface S = 0, on complète la commande (15) par une commande à deux états v_qc sous la forme :

L'utilisation de cette commande conduit à :

Prenant v_qc = - U₀ sign(S), la condition S.<0 peut être imposée pour S ¹ 0 en choisissant U₀ suffisamment grand :

Cette inégalité garantit l'attractivité de la surface S = 0 en présence de la perturbation C_r - à condition que cette perturbation soit bornée, ainsi que sa dérivée - .

Ainsi, toute trajectoire converge vers S = 0 en temps fini, puis est confinée sur cette surface, et la vitesse converge bien vers sa référence.

La commande complète de v_q est donnée finalement ainsi :

On peut choisir d'imposer v_d = 0, ce qui revient à un pilotage en quadrature - lequel n'est possible qu'en autopilotage -. Les tensions de commande sont alors élaborées à partir de la transformation inverse des coordonnées T^-1.

La vitesse étant ainsi réglée, le réglage de la position peut être obtenu avec un correcteur PI par exemple.

Une autre possibilité, parmi les nombreuses voies utilisables, est de régler directement les courants dans le repère fixe du stator. On cherche donc à garantir la poursuite des trajectoires de courant dans le repère a-b, c'est à dire :

Prenons comme surfaces de glissement :

La dérivée par rapport au temps de S_a est :

qui s'annule pour une commande v_ae :

Ainsi, la commande v_ae garantit l'invariance positive de S. L'attractivité de S = 0 est obtenue par :

qui garantit : 

De la même manière, on obtient pour le courant dans la phase b :

qui garantit : 

Ainsi, les courants suivent leurs références. On peut ensuite imposer ces références pour obtenir un couple moteur garantissant la poursuite de trajectoire de position ou de vitesse. Le plus simple est de déterminer i_d et i_q assurant ce couple, puis d'extraire i_ar et i_br par transformation inverse de coordonnées T^-1.

Un choix possible consiste à prendre i_d = 0 , i_q étant obtenu par un correcteur PI sur la position.

Résultats expérimentaux ; noter que la consigne ne correspond pas à un nombre entier de pas : la précision est indépendante de la résolution du moteur.

N.B.: Tech = 2 ms, le dispositif utilisé ne permet pas d'aller plus vite ...

Figure X : résultats pour la commande (19)

La commande en position utilisant les lois (24) et (25), dans laquelle le courant transverse de référence, i_qr , est élaboré par un correcteur PI sur la position, est illustrée sur les figures XI et XII.

Références :

[1] : J.Ch.Gille, P.Decaulne, M.Pélegrin Systèmes asservis non linéaires Editions Dunod 1988

[2] : V.I.Utkin Sliding mode control design principles and applications to electric drives

IEEE Transactions on industrial electronics Vol. 40 n° 1 Février 1993

[3] : H.Sira-Ramirez Dynamical sliding mode control of nonlinear systems Int. Journal of Control 1993 vol.57 n° 5

[4] : G.Grellet ; G.Clerc Les actionneurs électriques Editions Eyrolles 1998

[5] : J.P.Caron ; J.P.Hautier Modélisation et commande de la machine synchrone

Journées de l'Enseignement de l'Electrotechnique et de l'Electronique Industrielle, SEE, 1995

[6] : A.Rachid Régulation électromécanique Techniques de l'ingénieur R7-540

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