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Commande d'un procédé par inversion de modèle.

La technique présentée ici est très générale ; elle permet de commander un processus même non-linéaire, et est souvent employée en robotique pour inverser les relations causales dynamiques non-linéaire entre commande d'actionneurs et position d'un bras.

Si l'on connait la relation causale donnant la sortie en fonction de la commande, alors l'inversion de cette relation permet de calculer la commande nécessaire pour obtenir une sortie spécifiée à l'avance.

La difficulté réside dans l'obtention d'une loi de commande réalisable. Le problème est de conserver la propriété de causalité lors de cette inversion (en continu, il faut conserver la propriété "puissance finie", c'est à dire conserver des propriétés passe-bas.)

L'exemple ci-dessous est linéaire, et traité dans le domaine échantillonné.

On utilise une machine à courant continu à aimants permanents attaquée par un hacheur commandé en modulation de largeur d'impulsions. La charge est composée d'un volant d'inertie et d'une génératrice à courant continu, identique au moteur, débitant sur une résistance de charge. On considère en première approximation que la tension appliquée aux bornes de l'induit du moteur est Um = delta . U , où delta est le rapport cyclique de commande et U la tension d'alimentation constante du hacheur.

Le schéma de principe est donné ci-dessous : 

et les équations de description sont les suivantes :

Moteur (1) 

Génératrice (2) 

Mécanique (3) 

Hacheur (4) 

d'où l'on tire la fonction de transfert reliant la vitesse de rotation à la grandeur de commande:

Passons tout de suite à une application numérique :

ce qui donne pour la fonction de transfert "rapport cyclique => vitesse" :

La discrétisation du procédé est effectuée par la méthode d'Euler "avance", c'est à dire qu'on approxime la dérivée d'une fonction x(t) échantillonnée à la cadence T par :

soit en passant aux transformées de Laplace et en Z :

L'opérateur continu "p" est donc approximé par l'opérateur discret : 

Pour une période d'échantillonnage T = 0,5 ms, le processus est alors décrit sous la forme discrétisée :

L'inversion de cette relation permet de calculer le rapport cyclique à appliquer à l'instant n :

Les termes de vitesse  ne sont pas disponibles pour une contre réaction, puisque ce sont des termes futurs ; ce sont eux qui serviront de consigne au contrôleur (valeurs futures désirées pour la vitesse), selon le schéma de principe suivant :

Le contrôle implémenté ici prend donc la forme d'un contrôle prédictif à deux pas, le contrôleur mettant en oeuvre un modèle interne inverse du processus.

La méthode employée ici se prête bien à l'implémentation de contrôleurs à réseaux de neurones, parfois employés lorsque l'inversion est difficile (e.g. : dans l'inversion dynamique en robotique).
 
 

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