Numération binaire & hexadécimale

Nombres entiers

Nombres négatifs

L'opposé d'un nombre x est, par définition, le nombre y tel que x + y = 0
On le note -x ; soit : y = -x ; ou encore : x + (-x) = 0

Une difficulté apparaît dans toutes les opérations faites avec des nombres binaires sur les calculateurs numériques réels : les nombres binaires y ont un nombre de chiffres fixe (soit 8 soit16 soit 32 soit 64 bits généralement suivant les processeurs).

C'est cette même limitation qui apparaît sur les compteurs kilométriques de véhicules. Limités par exemple à six chiffres, lorsque le comteur arrive à 999 999, il retombe à 000 000.

Tout ce qui va être dit sur les opérations mathématiques suppose que les opérations se font sans dépassement de la valeur maximale que peut prendre les format binaire choisi (nombre maximum de bits).

Si les nombres manipulés dépassent cette valeur il faudra avoir recours à un nombre supérieur de bits pour représenter les nombres.

Pour simplifier, nous allons partir de nombres de 4 bits.Les nombres extrêmes dans ce format sont 0000 et 1111, soit en décimal : 0 et 15. Ce sont des entiers positifs..Il exsite deux manières d'écrire dans ce format à la fois des nombres positifs et leurs opposés :

• Methode dite du "bit de signe".
• Méthode du "complément à deux".

Convention dite " à Bit de signe"

• Le le bit le plus signifiant (bit de gauche) représente le signe : 0 pour "plus" et 1 pour "moins".
• La valeur absolue est données par le reste des bits.

Exemples :

Cette méthode semble très simple.
Pour n bits les valeurs extrêmes sont : 2^{( n - 1 )} - 1
On peut écrire autant de positifs que de négatifs.

Mais le revers de la médaille est plus sombre :

• Il y a manifestement deux zéros (un "zéro positif" un "zéro négatif" ! )
• Les opérations ne se font manifestement pas facilement comme le montre l'exemple suivant .

Convention dite du "Complément à deux"

C'est la convention la plus utilisée.

• Les nombres dont le bit le plus signifiant (bit de gauche) est à zéro sont considérés comme positifs.
• Leurs opposés s'obtiennent par l'opération (toute naturelle) suivante : opposé = 0 - nombre
  Ou encore : (-x) = 0 - x ; étant bien entendu que l'on reste à l'intérieur du format
  (c.a.d. que l'on ignore les bits de dépassement dans l'opération)

Exemples :

N.B. La soustraction binaire se fait comme la décimale : avec retenues et reports.

Exemple :
En soustrayant les bits à droite de 0000 - 0101
on déclare : 0 - 1 = 1 je retiens 1 que je reporte sur le zéro suivant de 0000,
et ainsi de suite ...
Arrivés au bit le plus à gauche, 1 + 1 = 0 je retiens 1
que je ne reporte pas puisque je sors du format 4 bits.

On peut ainsi construire le tableau suivant :

Ce code est moins directement compréhensible pour les nombres négatifs,
mais les opérations se font de la même manière pour les positifs comme pour les négatifs
(ce qui est primordial pour les processeurs de calcul).

Avec 8 bits :

Avec 16 bits :

Lorsque l'on écrit un nombre binaire pourvant premdre des valeurs positives ou négatives (entier relatif),
il est indispensable d'en préciser le format (nombre de bits) dans lequel il est écrit.

Exemple:
Le nombre 1111 représente, en écriture décimale :

• le nombre entier 15 si on le considère comme écrit en binaire naturel ; quel que soit le format.
• le relatif - 1 si on le considère écrit en binaire 4 bits convention du complément à deux;
• le relatif - 7 si on le considère écrit en binaire 4 bits convention du bit de signe;
• le nombre relatif + 7 si on le considère écrit en binaire 16 bits convention du complément à deux.

Technique particulière

Pour obtenir l'opposé d'un nombre écrit en binaire relatif dans la convention du complément à deux on change tous ses bits et on ajoute un. Il faut bien entendu opérer dans le format complet.

Exemple :
En binaire, dans la convention du complément à deux et sous format 4 bits, n = 101
Quel est son opposé ?

D'abord, faisons apparaître le format complet : n = 0101
Changeons tous ses bits : 1010
Ajoutons 1 : 1011
Vérifions sur le tebleau situé plus haut dans cette page
que n = 101 = 5 et que 1011 = -5

Cette technique peut être mise à profit dans certains opérateurs de calcul
ou pour simplifier la recherche de la valeur absolue d'un nombre négatif donné en binaire...

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