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Stabilité des systèmes asservis
Un système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée.
Un système est stable si la réponse libre du système tend vers zéro à l’infini. Ces deux définitions sont équivalentes dans le cas de systèmes linéaires. Un système réel instable oscille jusqu’à la destruction, ces oscillations peuvent dans le cas général être limitées par les différentes saturations (limites des ampli-OP, butées physiques,...) et laisser croire que la sortie du système est bornée, le système ne peut plus être considéré comme linéaire. La première définition ne peut être utilisée. Etudier la réponse libre d’un système, revient à écarter le système de sa position d’équilibre et à analyser sa réponse. un système stable a tendance à revenir dans sa position d’équilibre, un système instable a tendance à s’en écarter, un système qui ne revient pas dans sa position d’équilibre mais ne s’en écarte pas est dit juste instable. Fonction de transfert
Soit un système asservi dont la fonction de transfert en boucle ouverte est
La fonction de transfert en boucle fermée est donc: La fonction de transfert F(p) est un rapport de deux polynômes en p. Les racines du dénominateur (pôles de la fonction de transfert) sont soit réelles, soit complexes conjuguées. La décomposition de F(p) en éléments simples est (si on suppose, pour simplifier
l’étude, qu’il n’y a pas de racines multiples) donc de la forme : Réponse temporelle Abandonner un système avec une condition initiale non nulle revient pour l’étude
du comportement à considérer que le système a été soumis à l’instant t=0 à une
impulsion
La réponse temporelle s(t) est donc Compte tenu de la forme de F(p) la solution temporelle est de la forme : On voit que :
Remarques : cas des pôles nuls et imaginaires purs Pole réel double Si la fonction de transfert possèdent un terme de la forme Pole imaginaire pur ( Si la décomposition fait apparaître un terme de la forme :
Pole réel nul simple : Le système possède un terme de la forme Pole imaginaire pur simple Si la décomposition fonctionnelle comporte le terme
Le système est un système oscillant pur de pulsation w . Le système ne diverge pas mais oscille toujours. La sortie est donc bornée !. On dit que le système est juste instable On peut écrire une nouvelle condition de stabilité d’un système Un système est stable si, et seulement si, la fonction de transfert en boucle fermée n’a pas de pôle à partie réelle positive ou nulle. La position des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée nous renseigne donc sur la stabilité de la fonction de transfert.
Le critère de Routh est un critère permettant de déterminer à partir du polynôme
dénominateur de la fonction de transfert le signe des racines de ce polynôme sans avoir
à résoudre l’équation
on en déduit l’équation caractéristique suivante : Condition nécessaire Pour que le système soit stable, il faut que tous les coefficients de l’équation
caractéristique soient du même signe que Cette condition est une condition suffisante pour les systèmes du premier et du second ordre. La règle de Routh permet de déterminer le signe des racines d’un polynômes. pour cela on construit le tableau ci dessous On s’arrange pour que
Les deux premières lignes sont constituées des coefficients du polynômes Les coefficients de la troisième ligne sont calculés comme suit
de la même manière pour les termes des lignes suivantes :
On continue cette procédure jusqu’à épuisement La première colonne est appelée colonne des pivots et le terme Enoncé du critère de Routh Le système est stable si tous les termes de la colonne des pivots sont positifs (en
fait du même signe que Il y a autant de racines à partie réelles positives que de changement de signe. Une ligne de zéro indique l’existence de racines imaginaires pures Remarque 1 Un ligne de zéro implique la présence d’une racine imaginaire pure, le système est donc juste instable, pour pouvoir continuer l’analyse, il est nécessaire de continuer le tableau avec le polynôme reconstitué à partir des coefficients de la ligne précédente, ce polynôme est ensuite dérivé par rapport à la variable p pour poursuivre le tableau. ex
Polynôme de rang m Pm(p)=a1.pm+a2pm-1+a3.pm-2+... On construit le polynôme dérivé et on remplace le rang m+1 par ce polynôme. Pm+1(p)= Pm(p)’=ma1.pm-1+(m-1)a2pm-2+(m-2)a3.pm-3+... Remarque 2 Le critère de Routh, est un critère de stabilité absolue, il ne permet pas de préciser les marges de stabilité du système.
Nous avons vu que l’étude de la stabilité se résume à la recherche des racines du dénominateur.
La position de la fonction de transfert en boucle ouverte par rapport au point -1 nous renseigne sur la stabilité du système Critère du revers A partir du diagramme de Nyquist,
énoncé Un système asservi est stable si, à la pulsation
Les critères ci-dessus sont des critères de stabilité absolus, ces critères ne permettent pas en général de régler un système, il faut pour cela définir des marges de stabilité, c’est à dire une distance à respecter entre le point critique (-1) et le lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte. On définit la marge de Gain et la marge de Phase Les valeurs usuelles de marges de gain et de marge de phase permettant le réglage sont : Marge de Gain : 10dB Marge de Gain (MG) On détermine la pulsation pour laquelle le déphasage est de -180° Marge de Phase (MP) Pour la pulsation
Marge de Gain: c’est la distance entre l’intersection du lieu de Black de la fonction de transfert en boucle ouverte avec la droite d’argument -180° et le point critique d’affixe (-180°,0dB). Marge de Phase C’est la distance entre l’intersection du lieu de Black avec l’axe des abscisses et le point critique.
Marge de Gain: distance entre le point critique et l’intersection du lieu de Nyquist avec l’axe des réels. Marge de Phase Angle entre l’axe des réel (-µ ) et
Un moyen de d’assurer une marge de stabilité, est de limiter la résonance, la
valeur usuelle de réglage est Le diagramme de Black permet de déterminer l’amplitude de la fonction de transfert en boucle fermée à partir du lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte. Les courbes tracées sur le diagrammes de black sont le module et l’argument de La relation entre la FTBO et la FTBF est pour un système à retour unitaire : Le réglage du système asservi sera correct si le contour de la FTBO est tangent au contour à 2,3dB. Le point de tangence de la FTBO avec un contour d’amplitude est le point de résonance du système. Courbes isomodules : Courbes isophases
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:
et 
deux polynômes en p avec 
et 
, et a la classe du
système.
.
. C’est dire une décomposition
faisant apparaître les pôles réels et les pôles complexes.
avec 
impulsion de Dirac (rappel: la transformée de Laplace de
l’impulsion de Dirac est 1).
donc 
.
, le premier terme pour les pôles
réels, le deuxième pour les pôles imaginaires.
, alors0 est un pôle double. Ce pole réel entraîne une solution
temporelle de la forme 
qui tend donc vers
l’infini, le système est instable.
) double
, 
est un pôle imaginaire pur double. La solution temporelle est de la
forme : 
, le système diverge
, le système ne retourne pas dans sa position d’équilibre, mais ne
s’en écarte pas on plus, 
.
, la solution temporelle est de la forme :
.
pour les
déterminer.
.
.
soit
positif 
et ainsi de suite 
est le pivot de la quatrième ligne.
).
on peut aussi écrire cette condition
sous la forme 
.
des deux
conditions ci-contre
pour laquelle 
(donc 
), le déphasage est supérieur à -180°.
, la marge de gain est la distance (en dB)
entre la courbe et l’axe des abscisses.
, on mesure la
distance entre la courbe de phase et -180°
, 
, le point de pulsation 
,
, on peut donc à partir de la lecture pour
chaque point de la FTBO, de l’intersection avec les courbes isomodules et isophases,
déterminer le module et l’argument de la FTBF
