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I - Analyse temporelle des systèmes linéaires
Analyse temporelle des systèmes linéaires
Le schéma bloc d'un système du premier ordre est de la forme suivante.
Réponse à un échelon . Résolution de l'équation de différentielle L'équation différentielle est donc la suivante. La solution est de la forme pour un système partant du repos: Résolution par les propriétés de la transformée de Laplace
Etude de la réponse s(t) Théorème de la valeur finale pour s(t)
valeur finale Théorème de la valeur finale pour s'(t)
Le système à donc une asymptote horizontale Théorème de la valeur initiale pour s(t)
Théorème de la valeur initiale pour s'(t)
La pente à l'origine est non nulle Temps de réponse Le temps de réponse à 5% est défini comme le temps mis pour atteindre la valeur finale à ± 5% près. Donc :
donc Allure de la réponse temporelle Réponse pour K=1 et E0=1 pour différentes valeurs de la constante de temps
On appelle système du second ordre tout système régit par une équation différentielle linéaire à coefficients constant du second ordre.
soit sous la forme canonique
avec Dans les conditions d'Heaviside (s(0)=0, s'(0)=0).
donc la fonction de transfert est:
Réponse à un échelon unité
Cas 1 si z>1
Cas 2 si z=1
cas 3 si z<1
2 racines réelles au dénominateur, on peut donc décomposer la fonction de transfert en éléments simples. on pose:: La fonction de transfert s'écrit d’ou la décomposition en fractions simples: Cette forme nous permet de rechercher dans la table des transformées inverses la
fonction s(t) pour
d'où
Une racine double
Pour Décomposition en éléments simples d'où la fonction temporelle La réponse est non oscillante, pour un gain statique et une pulsation propre donnée, c'est le régime apériodique le plus rapide. cas 3 z<1 régime oscillatoire
La transformation inverse nous donne
Le dépassement est donc Allure de la réponse temporelle en fonction de z
Plus z est petit moins la réponse est amortie (z=0 réponse sinusoïdale non amortie).
Pour z=0.7 le temps de réponse est minimum. La tangente à l’origine est nulle. |
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: constante de temps >0;
et. 
pour 
donc 
d'ou 
: Pulsation propre du système non
amorti
gain statique 
facteur d'amortissement
donc
avec 
,
et 
et 
, 
. 
donc 
.
.
pour e(t)=u(t) on a 
avec
.on appelle pseudo -
pulsation : 
.
. 
