Sciences Industrielles / Etude temporelle
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I - Analyse temporelle des systèmes linéaires

A. Système du premier ordre

1. Définition
2. Fonction de transfert
3. Schéma bloc:
4. Etude temporelle

B. Système du second ordre

1. Définition
2. Fonction de transfert:
3. Schéma bloc
4. Etude temporelle

Analyse temporelle des systèmes linéaires

Système du premier ordre

Définition

On appelle système du premier ordre, tout système régit par une équation différentielle linéaire à coefficients constant du premier ordre:

avec : constante de temps >0;
K: gain statique

Fonction de transfert

On pose: et.

En appliquant la transformation de Laplace à l'équation précédente, on obtient:

d'où la fonction de transfert:

Schéma bloc:

Le schéma bloc d'un système du premier ordre est de la forme suivante.

Etude temporelle

Réponse à un échelon . pour

Résolution de l'équation de différentielle

L'équation différentielle est donc la suivante.

La solution est de la forme pour un système partant du repos:

Résolution par les propriétés de la transformée de Laplace

donc

Etude de la réponse s(t)

Théorème de la valeur finale pour s(t)

valeur finale

Théorème de la valeur finale pour s'(t)

Le système à donc une asymptote horizontale

Théorème de la valeur initiale pour s(t)

Théorème de la valeur initiale pour s'(t)

La pente à l'origine est non nulle

Temps de réponse

Le temps de réponse à 5% est défini comme le temps mis pour atteindre la valeur finale à ± 5% près. Donc :

donc d'ou

Allure de la réponse temporelle

Réponse pour K=1 et E0=1 pour différentes valeurs de la constante de temps

Temps de réponse à 5%

Pente à l’origine

valeur particulière

pour

 

Système du second ordre

Définition

On appelle système du second ordre tout système régit par une équation différentielle linéaire à coefficients constant du second ordre.

soit sous la forme canonique

avec : Pulsation propre du système non amorti
gain statique
facteur d'amortissement

Fonction de transfert:

Dans les conditions d'Heaviside (s(0)=0, s'(0)=0).

donc

donc la fonction de transfert est:

Schéma bloc

Etude temporelle

Réponse à un échelon unité

avec  ,

Cas 1 si z>1

2 poles réels
Régime apériodique
et

Cas 2 si z=1

pôle double

Régime apériodique critique

cas 3 si z<1

2 poles complexes conjugués
Régime oscillatoire amorti
et

Cas 1: z>1 régime apériodique:

2 racines réelles au dénominateur, on peut donc décomposer la fonction de transfert en éléments simples.

on pose::,

La fonction de transfert s'écrit

d’ou la décomposition en fractions simples:.

Cette forme nous permet de rechercher dans la table des transformées inverses la fonction s(t) pour donc .

d'où

Le comportement du système est non oscillant il tend vers la valeur K sans jamais la dépasser. La tangente à l'origine est nulle.

Plus le coefficient d’amortissement z est grand plus le temps de réponse est important.

La réponse temporelle ne dépasse pas la valeur finale.

La propriété de non dépassement (Z=1) est très recherchée dans certains asservissements ou le dépassement est interdit.

 

cas z=1 régime apériodique critique

Une racine double

Pour , on a .

Décomposition en éléments simples

d'où la fonction temporelle

La réponse est non oscillante, pour un gain statique et une pulsation propre donnée, c'est le régime apériodique le plus rapide.

cas 3 z<1 régime oscillatoire

pour e(t)=u(t) on a

La transformation inverse nous donne avec

La réponse présente la forme d'une sinusoïde amortie de pseudo - période .on appelle pseudo - pulsation : .

Le dépassement est un critère important pour un asservissement: L'instant du premier dépassement est .

Le dépassement est donc

Allure de la réponse temporelle en fonction de z

 

Plus z est petit moins la réponse est amortie (z=0 réponse sinusoïdale non amortie).

 

Pour z=0.7 le temps de réponse est minimum.

La tangente à l’origine est nulle.

Sciences Industrielles       P.S.I
Lycée Jacques Amyot       Auxerre
Papanicola Robert
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Dernière modification : 27 avril 1998.