Sciences Industrielles / 
|
Sciences Industrielles / |
|
Pour réaliser une commande automatique, il est nécessaire d'établir les relations existant entre les entrées (variables de commande) et les sorties (variables d'observation). L'ensemble de ces relations s'appelle "modèle mathématiques" du système
Une des représentations qui va nous permettre d’analyser un système est bien sur sont schéma physique (schéma électrique, mécanique, électronique,...) Ce type de schéma utilise la normalisation de chaque technologie
Un système dynamique linéaire peut être représenté par une équation différentielle à coefficients constants liant les grandeurs d’entrée et de sortie.
L’équation générale d’un système linéaire est de la forme
dans le cas des systèmes réels Nous ne savons résoudre dans le cas général que les équations différentielles du premier et du second ordre et dans quelques cas particuliers des équations d’ordre supérieur. Le problème de l’automatisation est plus complexe que la résolution puisqu’il s’agit de déterminer la loi d’entrée x qui permet d’obtenir la sortie désirée y. La représentation par l'équation différentielle nécessite pour connaître la réponse à une entrée de résoudre l'équation! Principe de la résolution La solution d’une équation différentielle est la somme d’une solution générale et de la solution particulière. La solution générale représente la composante transitoire, la solution particulière représente la composante permanente. La solution générale est déterminé par la résolution de l'équation sans second membre: La solution particulière est déterminée en fonction de la forme de x(t).
La solution complète est la somme des deux solutions : La dernière constante est déterminée en fonction des conditions initiales (on
suppose ici que le condensateur est complètement déchargé). d’où Représentation par la transformée de Laplace Voir Annexe Transformation de Laplace. L'utilisation de la transformée de Laplace permet de ramener la résolution d'une équation différentielle a une manipulation algébrique.
Passons dans le domaine symbolique On pose nous savons que
Nous supposons que les conditions initiales sont nulles (conditions de Heaviside).
en substituant I(p), on obtient:
On prend pour l’entrée
Décomposition en éléments simples
On déduit donc la décomposition s’écrit Transformation inverse On reconnait deux formes particulières dans le tableau des transformées (Cf annexe Transformation de Laplace).
d'où la solution complète
Remarque: cette méthode est lourde pour un exemple aussi simple mais en général nous n’auront pas à résoudre mais plutôt à caractériser la solution d’après la forme de la transformée La transformée de Laplace ne permet de résoudre plus de forme d’équations différentielles, mais c’est une méthode alternative pour résoudre un problème. Représentation par le schéma fonctionnel - Fonction de transfert Schéma fonctionnel (schéma bloc) La représentation par le schéma fonctionnel permet de représenter de manière graphique un système linéaire. Chaque bloc du schéma caractérise une des fonctions du système, l’allure globale du schéma renseigne aussi sur sa structure (boucle ouverte, boucle fermée). Les équations différentielles du comportement sont traduites par la fonction de transfert de chaque constituant. Le système d'équations est remplacé par un ensemble de blocs représentant les fonctions du système. les branches entre les blocs portent les variables intermédiaires globales du système. La détermination des fonctions de transfert sera vue plus loin. Formalisme
Il est possible de remplacer des blocs en ligne par le bloc produit des fonctions de chaque bloc.
Les schémas ci-dessous sont équivalents
De le transformation ci-dessus on peut déduire la transformation suivante.
Ces deux schémas sont bien sur équivalent, mais il faut bien se rendre compte que la
fonction de transfert
De la transformation précédente on déduit la modification du schéma
Un système linéaire continu invariant est décrit par une équation différentielle de la forme :
Les transformées respectives de l’entrée et de la sortie sont on rappelle que d’ou en appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l’égalité les conditions initiales étant nulles.
La représentation par le schéma fonctionnel et la fonction de transfert permettent de déterminer les caractéristiques principales du système sans résoudre l’équation différentielle. Ces représentations sont la base de l’automatique. La représentation par schéma bloc est déduite de la représentation par la transformée de Laplace. La fonction de transfert globale peut être déterminée a partir du schéma ou de la représentation par Laplace. Etude des systèmes dynamiques - Signaux canoniques d'entrées. Afin d'analyse le comportement d'un système dynamique, on le soumet à des entrées typiques permettant l'analyse de la sortie. signal en échelon
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
.
.
.
est solution de l’équation ci dessous
.
, 
, 
, donc
dans le domaine symbolique 
n’a pas de
sens physique mais seulement une signification symbolique.
est la fonction de transfert ou
transmittance du système: 
: fonction de Heaviside , 
, 
et 
