Systèmes linéaires1

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Systèmes linéaires continus et invariants

Présentation

Notions de systèmes dynamiques et perturbations.

On appelle système dynamique un système dont l'étude ne peut être réalisée qu’en prenant en compte les valeurs passées du phénomène. Les grandeurs de sortie dépendent des valeurs présentes et passées des grandeurs d'entrées. Les phénomènes d'inertie (inertie mécanique, inertie thermique...) influent sur le comportement du système.

Nous limiterons notre étude aux seuls systèmes linéaires continus et invariants.

Systèmes linéaires continus et invariants.

Systèmes linéaires

Définition

Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d'entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'équations différentielles à coefficients constants. Les systèmes linéaires se caractérisent principalement par deux propriétés, la proportionnalité et l’additivité.

Principe de proportionnalité

L’effet est proportionnel à la cause

Si y est la réponse à l'entrée x	, alors l y est la réponse à l .x.

Remarque: L'effet de proportionnalité n'est effectif que lorsque le système a atteint sa position d'équilibre ou que le régime permanent s'est établi.

La caractéristique Entrée/Sortie d'un système linéaire est une droite dont la pente

est appelé gain du système.

La réponse, en régime définitif, d’un système linéaire à une entrée donnée est un signal de même nature que l’entrée.

Principe d'additivité ou de superposition:

Si y1 est la réponse à x1,	si y2 est la réponse à x2,	alors la réponse à x1+x2 est y=y1+y2.

Le principe de superposition est important car il va nous permettre, connaissant la réponse d'un système à des sollicitations simples de déterminer par additivité et proportionnalité la réponse à des sollicitations plus complexes.

Principales non - linéarités

Seuil Un système présente un seuil lorsque la sortie n’évolue que lorsque l’entrée dépasse un seuil mini. Un grand nombre de système présente un seuil de fonctionnement, ces seuils ont souvent pour origine des frottements secs.	Saturation Un système présente un saturation lorsque la sortie n’évolue plus au-delà d’une valeur limite. Ces saturations sont dues soit aux limites mécaniques du système (butées) soit à des limites des interfaces de puissance (saturation des ampli-Op).

Courbure La quasi totalité des système présente des courbure plus ou moins prononcé. Dans la plupart des cas le système est approché par une droite passant par l’origine, mais il est aussi possible de linéariser autour d’un point de fonctionnement.	Hystérisis Un système présente une réponse en hystérisis lorsque le comportement en " montée " est différent de celui en " descente ". par exemple: cycle de magnétisation.

Systèmes continus

Un système est dit continu lorsque les variations des grandeurs physiques le caractérisant sont des fonctions du type f(t) avec t une variable continue (en général le temps).On oppose les systèmes continus aux systèmes discrets, par exemple les systèmes informatiques.

Système invariant

On dit qu'un système est invariant lorsque les caractéristiques de comportement ne se modifient pas dans le temps.

Remarques: En fait, si les systèmes physiques sont, à une échelle macroscopique, continus (du point de vue microscopique cette hypothèse n’est pas vraie (saut des électrons d’une couche à une autre)) Il ne sont ni invariants (vieillissement, usure), ni linéaires. Il est toujours possible de modéliser correctement le système pour que le système puisse être considéré comme linéaire, continu et invariant dans la zone d'étude.

La linéarisation autour du point d'étude en prenant la tangente à la caractéristique au point d’étude permet en général une bonne approximation du comportement du système pour de faible variation autour de ce point.

Sciences Industrielles P.S.I
Lycée Jacques Amyot Auxerre
Papanicola Robert

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Dernière modification : 27 avril 1998.