Sciences Industrielles / 
|
Sciences Industrielles / |
|
I - Notion de correction des systèmes asservis
Nous avons vus dans les chapitres précédants que les systèmes asservis pouvaient présenter des défauts, une précision insuffisante, une stabilité trop relative (voire une instabilité), un temps de réaction trop lent, une dépassement trop important, au regard d’un cahier des charges. Il est donc souvent nécessaire d’intégrer dans le système asservis un réseau correcteur dont l’objectif est d’améliorer ces un ou plusieurs de ces différents paramètres sans bien sur le faire au détriment des autres.
Les correcteurs doivent permettre de réaliser le meilleur compromis entre précision , stabilité et rapidité du système étudié.
Ce correcteur élémentaire est le correcteur de base, il agit principalement sur le gain du système asservi, il permet donc améliorer notablement la précision. Dans le cas d’un correcteur proportionnel, la loi de commande corrigée u(t) est
proportionnelle à l’écart e (t): La fonction de transfert du correcteur est donc : Pour les parties commande électroniques, la réalisation de ce type de correcteur à base d’amplificateurs opérationnels est simple (attention à la saturation des amplis).
Nous avons vus (Cf. stabilité et précision des S.A) que l’effet d’une augmentation du gain entraîne un diminution de l’erreur statique, rend le système plus rapide mais augmente l’instabilité du système.
Pour un intégrateur pur la loi de commande u(t) est de la forme : la fonction de transfert d’un correcteur pur est Ce type de correcteur n’est pas réalisable avec un réseau passif (circuit RC) mais une bonne approximation peut être réalisée avec un montage intégrateur à base d’amplificateurs opérationnels.
L’intérêt principal de ce correcteur est d’ajouter dans la chaîne de commande une intégration, nous avons que la présence d’une intégration dans la FTBO, annuler l’erreur statique pour une entrée en échelon. L’intérêt principal de ce type de correcteur est donc d’améliorer la précision, il introduit malheureusement un déphasage de -90° et risque de rendre le système instable(diminution de la marge de phase). Correcteur P.I. Le correcteur Intégrateur est en général associé au correcteur proportionnel et la
loi de commande corrigée est de la forme : Diagrammes de Bode d’un correcteur P.I
Effet statique (régime permanent): annule l’erreur statique (cf. précision des systèmes effet d’une intégration) Effet dynamique (régime transitoire) : augmente le temps de réponse (système moins rapide), et augmente l’instabilité (introduit un déphasage supplémentaire de -90°). Réglage du correcteur Principe : on place le correcteur de telle sorte que le déphasage positif soit effectif avant la pulsation de résonance du système non corrigé de manière à ne pas rendre le système instable, Une autre solution consiste à simplifier " mathématiquement " le pole dominant par le numérateur du correcteur P.I.
Dérivateur pur La loi de commande est de la forme Ce type de correcteur est purement théorique, un système physique ne peut pas avoir un numérateur de degré supérieur au dénominateur. Le correcteur approchant permettant d’avoir un effet dérivé est un correcteur de la forme
La loi du correcteur PD est donc effet Effet statique :(entrée en échelon ou évolution constante) le système n’intervenant que sur la dérivée de l’erreur, en régime permanent si l’erreur est constante, le dérivateur n’a aucun effet. Effet dynamique: l’intérêt principal de la correction dérivée est sont effet stabilisant, elle s’oppose aux grandes variations de l’erreur (donc aux oscillations), elle permet donc de stabiliser le système et d’améliorer le temps de réponse. Réglage : La constante de dérivation doit permettre d’agir (apporter une phase positive) avant la résonance du système non corrigé. Correcteur proportionnel Intégrateur Dérivateur PID Principe L’intérêt du correcteur PID est d’intégrer les effets positifs des trois correcteurs précédents. la détermination des coefficients Kp, Ti, Td du correcteur PID permet d’améliorer à la fois la précision (Td et Kp) la stabilité (Td) et la rapidité (Td, Kp). Le réglage d’un PID est en général assez complexe, des méthodes pratiques de réglages permettent d’obtenir des bons résultats. Structure d’un correcteur PID
On voit sur les diagrammes de Bode que le correcteur P.I.D se comporte pour le basses fréquences comme un intégrateur donc le système sera précis d’un point de vue statique, aux hautes fréquences l’avance de phase est de +90° donc une amélioration de la stabilité Réglage du correcteur P.I.D L’objectif du réglage est de placer le correcteur de telle sorte que, autour de la pulsation de résonance du système non corrigé, l’avance de phase soit positive et suffisante pour ne pas rendre le système instable. Il n’y a pas de réelle méthode analytique permettant de calculer les composantes du correcteur, par contre des méthodes pratiques permettent une évaluation correcte des coefficients du correcteur. principe Un correcteur à avance de phase est e la forme
L’intérêt de ce type de correcteur est de peu modifier le comportement du système aux basses et hautes fréquences mais de rajouter une phase positive autour du point critique de fonctionnement.(résonance) Ce type de correcteur se comporte autour du point critique comme un correcteur dérivé. Il permet d’améliorer la stabilité sans changer les autres paramètres. Diagrammes de Bode
Le déphasage maximal est obtenue pour la pulsation :
Les correcteurs PI et P.I.D sont parmi les correcteurs analogiques les plus utilisés. Le problème principal réside dans la détermination des coefficients Kp, Ti, Td du correcteur. Plusieurs méthodes expérimentales ont été développées pour déterminer ces coefficients La méthode développée par Ziegler et Nichols n’est utilisable que si le système étudié supporte les dépassements. La méthode consiste à augmenter progressivement le gain d’un correcteur
proportionnel pur jusqu'à la juste oscillation. On relève alors le gain limite (Klim)
correspondant et la pulsation des oscillations À partir des ces valeurs Ziegler et Nichols propose nt des valeurs permettant le réglage des correcteurs P, P.I et P.I.D
|
|
.
. La fonction de transfert du correcteur est donc : 
, la
fonction de transfert est donc 
.
avec 
et N
entier>1
avec a>1
. 
.
.
