1 - Algèbre de Boole

L’ensemble des opérations découlant de ces propositions forme une structure mathématique, donc une algèbre , appelée " algèbre de BOOLE " .

1.1 Définitions :

Variable logique : grandeur , représentée par un identificateur (lettre ou nom) qui peut prendre les seules valeurs 0 ou 1 .

Algèbre de BOOLE : Ensemble de variables à 2 états ,de valeur ,ou état "1" (vrai) ou 0 (faux) et muni d'un petit nombre d'opérateurs fondamentaux : NON,ET, OU

1.2 Notion de table de vérité

Une table de vérité est un tableau regroupant toutes les combinaisons de valeurs (0 ou 1) que peuvent prendre les variables binaires X1,X2..Xn

    Exemple:
 
 

x	y	s
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	0

1.3 Opérateurs logiques fondamentaux:

Opérateur "NON"
S est faux si e est vrai
S est vrai si e est faux
 
 

Symbole	Equation booléenne

table de vérité
 
 

E	S
0 1	1 0

Opérateur "ET"
 
 

A	B	S= A.B
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1

La fonction ET de 2 ou plusieurs variables prend la valeur 1 si toutes les variables sont simultanément à 1

Symbole électrique : 

Interprétation électrique :
 
 

Il apparaît que la lampe L n’est alimentée que si les interrupteurs a et b sont fermés simultanément

On peut réaliser des fonctions ET à l’aide d’associations diodes-résistances

Opérateur "OU"
 
 

A	B	S= A+B
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1

Symbole électrique : 

 
 

Il apparaît que la lampe L est alimentée si au moins un des interrupteurs est fermé.

Propriétés des opérateurs "Et", "Ou"
 
 

propriétés	ET	OU		Applications
COMMUTATIVITE	A.B = B . A	A + B = B + A		Les entrées d’un opérateur logique sont interchangeables
ASSOCIATIVITE	(A.B).C = A.B.C	(A+B)+C = A + C + B		Une fonction ou à 3 entrées peut être réalisée à partir d’opérateurs à 2 entrées.
DISTRIBUTIVITE OU par rapport au ET  ET par rapport au OU	A + (B.C) = (A+B)(A+C) A.(B+C) = A.B + A.C
ELEMENT NEUTRE	A.1 = A		A+0 = A

Opérateur "NON ET" (NAND)
 
 

	table de vérité	symbole	Equation booléenne
S est faux si a et b sont vrais

Opérateur "NON OU" (NOR)
 
 

	table de vérité	symbole	équation booléenne
S est faux si a est vrai ou si b est vrai.  S est vrai si a et b sont tous les 2 faux

Propriétés des opérateurs "Non et" et "Non ou"
 
 

	NON ET	NON OU	Remarques et conclusions pratiques
COMMUTATIVITE
INVERSIONS			Une fonction NON peut facilement être réalisée à partir d’un opérateur NON ET ou d’un opérateur NON OU , en relianrt une des entrées soit à VCC soit à la masse
LOIS DE DE MORGAN			Ces relations s'avèrent indispensables pour simplifier des équations et les rendre homogènes

Conclusion : les opérateur NON ET et NON OU sont universels dans le sens où leur association permet de réaliser toutes les autres fonctions booléennes
 
 

Opérateur "OU EXCLUSIF" (XOR)
 
 

	table de vérité	symbole	équation booléenne
S est vrai si a est vrai ou b est vrai, mais pas les deux

Opérateur "NON OU EXCLUSIF" (XNOR)
 
 

	table de vérité	symbole	équation booléenne
S est vrai si a et b sont vrais ou si a et b sont faux (quelquefois appelé détecteur d'égalité car s=1 si a=b)	A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

 
 

Propriétés:
 
 

	XOR	XNOR
COMMUTATIVITE
ASSOCIATIVITE		Le XNOR n’est pas associatif
PROPRIETES PARTICULIERES

Généralisation:

X1 X2  X3  .... Xn = 1si un nombre impair de variables est à 1

= 0 si un nombre pair de variables est à 1

 
 

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