Leçon III : LE REGIME SINUSOÏDAL

Le but de cette leçon est de présenter quelques rudiments sur les signaux périodiques et de donner à comprendre la notion d'impédance en électrotechnique.

Il est présenté des notations et des propriétés de signaux électriques. On s'intéresse dans ce cours à des signaux de nature déterministe, reportant à une introduction au traitement de signal la question des signaux de nature aléatoire. On rappelle les grandeurs définies et mesurables sur un signal périodique : sa fréquence, son amplitude, sa valeur efficace, sa valeur moyenne.

On définit aussi le concept de puissance instantanée et celui, plus utilisé, de puissance moyenne. La connaissance de la puissance fournie ou consommée par un dipôle est importante, tant sur le plan du bilan énergétique qui peut servir à vérifier des calculs que sur le plan strictement physique où l'énergie thermique crée dans un dipôle doit être évacuée d'une manière ou d'une autre vers l'extérieur.

Le régime sinusoïdal est d'une grande importance en électricité, comme en technique en général (voir la leçon consacrée à l'analyse fréquentielle). On définit les outils et grandeurs classiques: valeurs efficace et moyenne, amplitude, fréquence, puissances active et réactive, notation de Fresnel, impédance d'un dipôle, gain et atténuation en décibel.

On montre aussi le problème de l'association de dipôles, qui est de trouver des dipôles équivalents à des ensembles de dipôles montés en série ou en parallèle. Du moment que les caractéristiques des dipôles se résument à leur relation tension-courant, les lois de Kirchhoff expriment que les courants se somment en parallèle et que les tensions se somment en série. Si la caractéristique d'un dipôle est statique et non-linéaire, on peut appliquer facilement ces règles pour construire la caractéristique statique du dipôle équivalent. Le cas linéaire et dynamique des impédances est celui qui revient très fréquemment : les impédances se somment en série, et l'inverse de l'impédance équivalente est la somme des inverses des impédances montées en parallèle.

PLAN DE LA LEÇON III

1.1. Amplitude du signal
1.2. Fréquence du signal
1.3. Valeur crête-à-crête (peak-to-peak : ptp)
1.4. Valeur moyenne (average, mean)
1.5. Valeur efficace (root mean square : RMS )

Soit un signal périodique.

On définit les grandeurs suivantes: l'amplitude, la fréquence, la valeur crête-à-crête, la valeur moyenne, la valeur efficace.

1.1. Amplitude du signal

Elle peut être définie crête à crête ou bien en valeur absolue

1.2. Fréquence du signal

La fréquence est l'inverse de la période :

1.3. Valeur crête-à-crête (peak-to-peak : ptp)

Selon dessin

1.4. Valeur moyenne (average, mean)

La valeur moyenne est donnée par :

Cette valeur moyenne est aussi appelée "niveau continu" ou "niveau DC" en électronique ; l'autre composante du signal est qualifiée d'alternative.

1.5. Valeur efficace (root mean square : RMS )

La valeur efficace est donnée par :

Cette valeur efficace correspond au niveau d'un signal continu qui produirait la même dissipation par effet Joule. Par exemple, si on devait calculer la dissipation thermique d'un élément sous l'effet d'un signal, la valeur efficace de ce dernier serait la valeur la plus utile.

(Cf. Ex. 5.1 : CARACTÉRISTIQUES DU SIGNAL PÉRIODIQUE TRIANGULAIRE )

2.1. Puissance instantanée
2.2. Exemple et convention de signe
2.3. Puissance moyenne

2.1. Puissance instantanée

Nous avons vu précédemment l'analogie électromécanique, faisant correspondre tension à force et courant à vitesse. L'analogie peut donc se poursuivre dans l'expression de la puissance instantanée :

Remarquons que cette puissance électrique est la puissance mécanique à développer pour déplacer une charge dans un champ électrostatique, à une vitesse donnée.

2.2. Exemple et convention de signe

Une source débite dans un récepteur ohmique ; la puissance fournie par la source est négative. Pour le récepteur ohmique dont on a vu que sa caractéristique est de consommer de la puissance, le signe correspondant de la puissance est positif.

On a pour la source :

et pour la charge :

2.3. Puissance moyenne

Un élément résistif dissipe toujours de la puissance : c'est sa caractéristique. Alors on a toujours une expression positive de la puissance. Mais pour des éléments non-consommateurs comme l'inductance par exemple, la puissance est parfois positive (l'inductance se charge en courant, donc soutire de l'énergie au circuit), parfois négative (l'inductance restitue de l'énergie au circuit électrique).

Ce qui exprime la consommation ou non de puissance n'est donc pas sa valeur instantanée, mais sa valeur moyenne.

L'expression de la puissance moyenne est donnée en toute généralité par :

(Cf. Ex. 5.2 : INDUCTANCE EN RÉGIME SINUSOÏDAL )

3.1. Grandeurs typiques en régime sinusoïdal
3.2. Puissances actives et réactives
3.3. Notation de Fresnel
3.4. Exemple : circuit RC en régime sinusoïdal
3.5. La notion d'impédance
3.6. Gain, atténuation et décibels

Une des caractéristiques des systèmes linéaires est de conserver la forme des signaux sinusoïdaux. Pour un tel système, on peut donc parler de régime sinusoïdal.

3.1. Grandeurs typiques en régime sinusoïdal

Pour un signal sinusoïdal exprimé, par :

on a :

amplitude
fréquence
crête à crête
valeur moyenne
valeur efficace

( Cf. Ex. 5.3 : VALEUR EFFICACE D'UNE TENSION Sinusoïdale )
( Cf. Ex. 5.4 : FACTEUR DE FORME )

3.2. Puissances actives et réactives

Dans le cas où un récepteur consomme une puissance (moyenne), on parle de puissance active, c'est le cas de la résistance. L'énergie entre dans le système sous forme électrique, et en sort sous forme de pertes ohmiques. Notons que si le schéma électrique représente aussi en partie un système mécanique, la perte ohmique peut signifier des frottements visqueux, comme indiqué précédemment.

Dans le cas où l'on a une puissance moyenne nulle mais une puissance instantanée non nulle, on dit que la puissance est réactive, c'est le cas des inductances et capacités, des bobines et condensateurs de bonne qualité. L'énergie circule dans le circuit et se fait momentanément stocker (sous forme magnétique respectivement électrique pour l'inductance et la capacité). Le récepteur ne consomme pas à proprement parler de l'énergie, mais cette fluctuation de courant crée des pertes dans les lignes de transmission.

 ( Cf. Ex. 5.5 : PUISSANCE RÉACTIVE)

3.3. Notation de Fresnel

En régime sinusoïdal, les courants et tensions sont des sinusoïdes déphasées l'une par rapport à l'autre, et ayant chacune leur amplitude.

On représente les courants et tensions d'un dipôle par des vecteurs dits de Fresnel, où l'information de fréquence est laissée de côté.

Vecteurs de Fresnel :

On ne garde dans cette représentation que la valeur efficace, image de l'amplitude et de déphasage entre courant et tension.

Ainsi, la puissance active devient le produit scalaire des deux vecteurs :

Le déphasage entre courant et tension d'un quart de tour correspond en régime sinusoïdal, à la relation de dérivation ou d'intégration existant entre ces grandeurs pour la capacité et l'inductance. Remarquons encore que dans cette notation, l'application des lois de Kirchhoff revient à fermer les polygones des tensions et courants.

3.4. Exemple : circuit RC en régime sinusoïdal

Circuit RC en régime sinusoïdal :

On constate que courant et tension sont parallèles dans la résistance, et perpendiculaires dans la capacité. La notion d'impédance, qui est abordée plus loin, permet de faire des calculs qui peuvent être complémentaires d'une méthode graphique de ce type. La représentation de Fresnel permet de "visualiser" une partie du comportement d'un système linéaire en régime sinusoïdal (dit aussi régime harmonique)

3.5. La notion d'impédance

La représentation vectorielle des relations courant-tension en régime sinusoïdal est une manière de ne garder du signal qu'un déphasage et une amplitude. Ce résultat peut aussi être obtenu grâce à l'utilisation de nombres complexes:

Le signal :

devient, en notation complexe :

La notation complexe permet d'exprimer la relation courant-tension en régime sinusoïdal, grâce à la notion d'impédance :

Cette relation prend la même forme linéaire que la loi d'ohm. L'utilisation de ces nombres complexes en régime sinusoïdal permet de traiter dans le même langage les effets résistifs, capacitifs et inductifs. (Voir l'exercice 5.6).

	Caractéristique	Relation i-u:	Impédance
Résistance
Inductance
Capacité

( Cf. Ex. 5.6 : IMPÉDANCES DES ÉLÉMENTS DE BASE )

On peut modéliser le comportement linéaire d'une bobine auto inductive de la sorte :

La résistance représente les pertes par effet Joule, l'inductance la composante auto inductive, la capacité les effets d'accumulation de charges.

( Cf. Ex. 5.7 : Modèle D'UNE BOBINE )

3.5.4. Impédance d'un condensateur

On modélise souvent un condensateur en tenant compte de ses pertes ohmiques :

Ces pertes sont représentées, en mode fréquentiel, par un angle de pertes d'autant plus petit qu'elles sont faibles :

( Cf. Ex. 5.8 : Modèle D'UN CONDENSATEUR )

3.6. Gain, atténuation et décibels

Il arrive fréquemment, notamment lors d'analyses harmoniques (voir la leçon consacrée à l'analyse fréquentielle), que l'on veuille exprimer le gain d'un système en décibels. Que cela signifie-t-il ?

Le gain en général est défini comme le rapport de la grandeur de sortie sur celle d'entrée:

Le gain en puissance d'un système peut être exprimé en logarithme et l'unité est alors le Bel ou le décibel :

Comme en électronique on travaille souvent directement en tension ou courant, il faut encore voir qu'une puissance électrique est donnée par le carré de ces grandeurs. Il en résulte :

Un filtre électronique présente la propriété d'avoir un gain en tension variable en fréquence :

La région en fréquence délimitée par une chute de gain inférieure à 3 dB est appelée bande passante.

( Cf. Ex. 5.9 : BANDE PASSANTE )
( Cf. Ex. 5.10 : CALCULS D'IMPÉDANCES )

4.1. Cas général d'association de dipôles
4.2. Association de dipôles non linéaires (caractéristique statique)
4.3. Association de dipôles linéaires

4.1. Cas général d'association de dipôles

Des deux relations de Kirchhoff, on déduit immédiatement les règles d'association des dipôles :

4.2. Association de dipôles non linéaires (caractéristique statique)

Soit une diode mise en parallèle à une résistance. Le dipôle résultant est également non-linéaire, et on peut aisément reconstituer sa caractéristique statique en sommant les courants.

4.3. Association de dipôles linéaires

Dans le cas plus standard des dipôles linéaires, on a pour leurs impédances :

( Cf. Ex. 5.11 : REPRÉSENTATION D'IMPÉDANCE )
( Cf. Ex. 5.12 : GÉNÉRATEUR À IMPÉDANCE DE SORTIE CAPACITIVE )
( Cf. Ex. 5.13 : LIGNE DE TRANSMISSION )

5.1. Caractéristiques du signal périodique triangulaire
5.2. Inductance en régime sinusoïdal
5.3. Valeur efficace d'une tension sinusoïdale
5.4. Facteur de forme
5.5. Puissance réactive
5.6. Impédances des éléments de base
5.7. Modèle d'une bobine
5.8. Modèle d'un condensateur
5.9. Bande passante
5.10. Calculs d'impédances
5.11. Représentation d'impédance
5.12. Générateur à impédance de sortie capacitive
5.13. Ligne de transmission

 5.1. Caractéristiques du signal périodique triangulaire

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Calculez et discutez en fonction de l'amplitude et de la fréquence les caractéristiques de ce signal périodique :

5.2. Inductance en régime sinusoïdal

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Exprimez le courant, la tension et la puissance dans une inductance soumise au régime sinusoïdal.

Laquelle des puissances instantanée ou moyenne fluctue ? A quoi cela correspond-il ?

5.3. Valeur efficace d'une tension sinusoïdale

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Vérifiez l'expression de la valeur efficace d'une tension sinusoïdale, en partant de la définition mathématique appliquée au cas sinusoïdal.

5.4. Facteur de forme

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Donnez l'expression de la valeur moyenne d'un signal sinusoïdal redressé.

En supposant qu'un voltmètre redresse un signal et mesure sa valeur moyenne, quel est le facteur à introduire pour que son affichage indique une valeur efficace ?

Que se passe-t-il si le signal introduit n'est pas sinusoïdal ?

5.5. Puissance réactive

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Une charge électrique compliquée est modélisée par une inductance, ce qui implique que la puissance de cette dernière sera strictement réactive. La ligne de transfert entre la source et la charge est modélisée en première approche par une résistance, image de pertes thermiques.

- Dessinez le schéma-bloc correspondant : source-ligne-récepteur.

- Dessinez le circuit électrique lié au modèle énoncé.

- Exprimez les puissances en jeu. Sont-elles actives, réactives ?

- Quelles conclusions peut-on en tirer ?

5.6. Impédances des éléments de base

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Reconstituez le tableau des impédances résistives, capacitives et inductives :

	Caractéristique	Relation i-u:	Impédance
Résistance
Inductance
Capacité

5.7. Modèle d'une bobine

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

On modélise parfois une bobine réelle par une inductance pour son effet auto inductif, une résistance pour la dissipation par effet Joules dans le bobinage et une capacité pour l'accumulation de charges par influence entre fils :

Quelques données:   Fréquence : 100 KHz Tension de crête : 15 V Coefficient L=1.5 mH Capacité C=300 pF

Quel est le courant demandé à la source par cette charge ?

Quelle est l'importance (% impédance) de l'effet capacitif à cette fréquence ?

5.8. Modèle d'un condensateur

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Un condensateur de C=100 nF est spécifié par le fabricant comme ayant un angle de pertes : delta = 1.5 ^o à une fréquence de 100 KHz.

Dessinez à l'échelle le diagramme de Fresnel.

A quelle résistance en parallèle à la capacité cette spécification correspond-elle ?

5.9. Bande passante

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Un filtre électronique présente la propriété d'avoir un gain en tension variable en fréquence :

La région en fréquence délimitée par une chute de gain inférieure à 3 dB est appelée bande passante.

Que représente -3 dB en terme de puissance transmise ?

5.10. Calculs d'impédances

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Donnez l'impédance du dipôle à droite, pour les fréquences suivantes : 100 KHz, 10 KHz et 1 KHz

On spécifie :

Coefficient L=1.5 mH

Capacité C=300 pF

Résistance R=15 ohm

5.11. Représentation d'impédance 

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Représentez l'amplitude et la phase de l'impédance suivante, en fonction de la fréquence, exprimée en échelle logarithmique :

On a les valeurs suivantes : C=100 nF ; R = 10KW

5.12. Générateur à impédance de sortie capacitive

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Soit un générateur de tension, à impédance de sortie capacitive. Il est chargé avec une charge ohmique, selon le schéma suivant:

Quelle est l'influence de la capacité parasite sur la tension de sortie, à une fréquence de 100 KHz pour une tension d'entrée sinusoïdale ?

5.13. Ligne de transmission

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On peut modéliser une ligne de transmission (câble) par :

Discutez les cas limites : hautes fréquences, basses fréquences.

Explicitez l'impédance en fonction de la fréquence, vue par la source de tension.

Quand peut-on négliger dans le modèle la capacité et l'inductance ?

6.1. Caractéristiques du signal périodique triangulaire
6.2. Inductance en régime sinusoïdal
6.3. Valeur efficace d'une tension sinusoïdale
6.4. Facteur de forme
6.5. Puissance réactive
6.6. Impédances des éléments de base
6.7. Modèle d'une bobine
6.8. Modèle d'un condensateur
6.9. Bande passante
6.10. Calculs d'impédances
6.11. Représentation d'impédance
6.12. Générateur à impédance de sortie capacitive
6.13. Ligne de transmission

Exercice 5.1 : signal triangulaire

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Toutes les tensions prennent des valeurs indépendantes de la fréquence du signal.

Exercice 5.2 : Inductance en régime sinusoïdal

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Courant :

Tension :

Puissance :

La puissance instantanée fluctue. La puissance moyenne est nulle qui indique que les pertes joules sont nulles. La puissance consommée par la self est purement réactive.

Exercice 5.3 :Valeur efficace d'une tension sinusoïdale

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Soit :

Exercice 5.4 : facteur de forme

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- Signal sinusoïdal redressé :

- Valeur moyenne

C =

Le calcul du facteur de forme est dépendant de la forme du signal.(voir TP2 pour plus de détails)

Exercice 5.5 : puissance réactive

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Le calcul du courant ne pose aucun problème. Par les impédances on trouve :

Puissance dissipée par le générateur : R_g I² (acitve)

Puissance dissipée par la ligne : R_l I² (acitve)

Puissance de l'inductance :

Puissance instantanée : (réactive)

Puissance moyenne : P_lmoy = 0

La self ne consomme pas d'énergie mais le courant réactif est responsable de pertes en ligne. On a donc intérêt à minimiser le courant réactif.

C'est un problème d'électronique de puissance : il faut essayer d'annuler la composante réactive le la charge et ceci peut se faire au moyen de condensateurs.

Exercice 5.6 : Impédances des éléments de base

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Caractéristique courant-tension de la capacité :

Soit une tension

donc un courant

On passe en complexe :

On exprime le rapport pour trouver l'impédance et on constate que les e^{jw t} disparaissent :

On introduit les nombres complexes :

Et on obtient :

Exercice 5.7: Modèle d'une bobine

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Quelques données:   Fréquence : 100 KHz Tension de crête : 15 V Coefficient L=1.5 mH Capacité C=300 pF Résistance R=15 ohm

On assiste à une variation d'impédance de 18 %, en terme de module. L'effet de la capacité est visualisable en représentant les vecteurs de Fresnel du système: comme l'inductance déphase le courant par rapport à la tension, la capacité induit un déphasage opposé ayant pour résultat de compenser un peu de déphasage inductif.

Exercice 5.8: modèle d'un condensateur

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Un condensateur de C=100 nF est spécifié par le fabricant comme ayant un angle de pertes : à une fréquence de 100 KHz.

Comme R et C sont en parallèle :

Exercice 5.9 : Bande Passante

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Le gain en dB est défini en puissance (Cf. cours)

G_dB = 10 log P_o/P_i

Comme la tension va comme le carré de la puissance :

Si Gu = -3dB alors P_o/P_i = ½

La bande passante d'un système est donc définie par les point où la moitié de la puissance est transmise.

Exercice 5.10 : Calculs d'impédances

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

On calcule l'impédance équivalente :

Tous calculs faits on trouve pour le module :

       :  Capacité = circuit ouvert

Inductance = court-circuit

      :  Capacité = court-circuit

Inductance = circuit ouvert

Exercice 5.11 : Représentation d'impédance

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

On calcule l'impédance équivalente :

Module de  :

Argument de  :

Exercice 5.12: générateur à impédance de sortie capacitive

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La tension de sortie est donnée par le diviseur de tensions :

Ce qui nous donne en module :

Pour f = 100kHz

Pour f = 0Hz

Conclusion : La capacité a un effet négligeable à cette fréquence.

On peut chercher le point pour lequel Z_C = 10R

(à 1.6MHz l'impédance de la capacité vaut 10 fois celle de la résistance et on peut commencer à en tenir compte).

Exercice 5.13 : ligne de transmission

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- A basse fréquence, la self se comporte comme un court-circuit, et la capacité comme un circuit ouvert. Dans ce cas on peut les négliger et l'ensemble se comporte comme un simple diviseur de tension à résistances.

- A haute fréquence, le signal ne passe plus car la capacité est un court-circuit et la self un circuit ouvert.

La source voit le dipôle suivant :

Impédance équivalente :

C'est à basse fréquence que l'on peut négliger les effets de la

capacité et de l'inductance.