RAYONNEMENT EN ZONE DE FRAUNHOFER DE DEUX SOURCES D’HUYGENS. INTERFERENCES.
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SOLUTION

1. Le diagramme de directivité normalisé qui tient compte de l’interférence des deux sources s’écrit :(1)
 
 

avec 

2-La directivité maximale D_M , compte tenu de la symétrie de révolution autour de l’axe Oz, est définie par l’expression :(2)

En portant l’expression (1) dans (2), on obtient :

(3)

On peut écrire successivement :

d’où finalement :

(4)

En reportant la valeur de l’intégrale (4) dans l’expression (3), nous obtenons la relation demandée.

3-.Si ,l’expression est maximale pour et égale à1. Dès lors l’expression (3) compte tenu de (4), s’écrit :

Un calcul simple de dérivée montre que D_M passe par un maxima pour , soit radians ou 165°. Cette valeur correspond à . Dans ce cas est égal sensiblement à 3,25, soit 5,12 dB.

La figure montre les variations de la directivité maximale D_M en fonction de .

4.- L’ouverture à 3 dB est définie par l’expression :

avec :

Autrement dit, l’ouverture à 3 dB est liée à par la relation :

Sa variation est présentée également sur la figure 2.

L’ouverture à mi- puissance du lobe principal décroît continuellement lorsque croît. Cependant, malgré la directivité propre de la source seule, lorsque devient supérieur à 1, les « lobes de réseau » apparaissent et sont de plus en plus nombreux au fur et à mesure que croît. L’énergie est alors distribuée dans tous les lobes . C’est la raison pour laquelle la directivité maximale D_M, qui atteint sa plus grande valeur , diminue ensuite, malgré une diminution continue de l’ouverture à 3 dB du lobe principal.