NOMBRES COMPLEXES

Définition : Le nombre imaginaire pur tel qu’élevé au carré on obtient -1 ( on peut considérer pour l’instant que c’est pour cette raison qu’il s’agit d’un imaginaire pur ) est noté ici « j » (contrairement à ce que l’on trouve dans les ouvrages de mathématiques) afin qu’il n’y ait pas de confusion possible avec l’intensité d’un courant électrique.

a est la partie réelle b est la partie imaginaire

On pourra remarquer qu’il y a une parfaite correspondance entre le plan vectoriel muni d’un repère orthonormé et le plan complexe.

Le plan vectoriel est muni d’un repère , on considère un tel que . a et b sont appelées les composantes du vecteur

On peut lui faire correspondre un nombre complexe qui s’écrira donc  On a détaillé 1 pour montrer que le couple ( 1 , j ) constitue une base orthonormée de la même manière que .

(M est appelé l’image de et réciproquement est l’affixe de M)
Les deux notions sont donc parfaitement équivalentes, ce qui permet d’employer des expressions telles que « vecteur OM ».

Le module de noté est égal à la norme du vecteur donc : L’argument de noté ou est égal à l’angle formé entre l’axe des réels et le vecteur OM , on note .
Il est souvent préférable de penser à cette représentation graphique avant d’entreprendre le moindre calcul.

Par exemple :

si a = 0 alors l’ argument vaut π/2 ( modulo π )
si b = 0 alors l’argument vaut 0 ( modulo π )

L’argument peut être obtenu en utilisant la fonction Arctan ( fonction INVerse TANgente sur les calculatrices ).Cette fonction fournit un résultat compris entre -π/2 et +π/2 , par conséquent, le résultat fourni est exact si a > 0 , sinon

Remarque : lorsqu'il s'agit de faire simplement un calcul numérique, on peut utiliser la conversion rectangulaire-polaire présente sur toutes les calculatrices scientifiques.

d) Représentation module et argument : formule d’Euler. 

Soit un nombre complexe z son module |z| sera simplement noté z.

On peut exprimer les parties réelle a et imaginaire b par :

En réécrivant la forme cartésienne de z , on peut écrire :

Le terme entre parenthèses est défini entièrement par la valeur de ce qui permet d’exprimer z par la forme module et argument z = ( z , q ).
Cette forme n'a qu'un intérêt très limité car elle ne permet pas de faire des calculs, on lui préfère la formule d’Euler ; on peut, dans un premier temps qu’il s’agit d’une simple notation :

On peut donc écrire la formule d'Euler :

L’intérêt de cette formule est qu’on peut lui appliquer les opérations valables sur les exponentielles :

la dérivation :

l’intégration :

la multiplication et la division ( voir ci-dessous)

a) Complexe conjugué. 

C’est le (nombre) complexe ayant même module mais l’argument opposé.
z = a + jb a pour conjugué : z* = a - jb

En effet : z = a + jb peut s’écrire :

b) Addition et soustraction. 

Soient deux nombres complexes z₁ = a₁ + j.b₁ et z₂ = a₂ + j.b₂
on a bien évidemment : z₁ + z₂ = ( a₁ + a₂ ) + j.( b₁ + b2 )
et z₁ - z₂ = ( a₁ - a₂ ) + j.( b₁ - b2 )

Soient deux nombres complexes z₁ = a₁ + j.b₁ et z₂ = a₂ + j.b₂ ;
le produit effectué directement donne :
(a₁ + j.b₁ ) .(a₂ + j.b₂ ) = a₁.a₂ - b₁.b₂ + j.( a₁.b2 + a₂.b₁ ) ;
on peut voir que le résultat obtenu est plus compliqué que le point de départ, il vaut mieux ne jamais développer un produit de nombres complexes.

Il vaut mieux utiliser la formule d’Euler : et donc :
On retiendra donc que le produit de deux complexes est un complexe dont le module est égal au produit des modules et l’argument est égal à la somme des arguments.

La division donne :
On retiendra donc que le quotient de deux complexes est un complexe dont le module est égal au quotient des modules et l’argument est égal à la différence des arguments.

Les nombres complexes de module égal à 1 soient : peuvent être considérés comme des opérateurs de rotation, en effet, multiplions un nombre complexe z par : on obtient Il s’agit donc d’un nombre complexe de même module mais dont l’argument a été augmenté de α ; il s’agit donc d’un opérateur de rotation : fait « tourner » (et non pas roter) le nombre complexe d’un angle α

b) Nombres complexes particuliers. 

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