Fréquence de résonance facteur de qualité - Traité d'électricité pour le radioamateur

Fréquence de résonance - facteur de qualité

Nous avons étudié au chapitre précédent la résonance dans les circuits série et // sans toutefois quantifier cela. De plus nous nous sommes placés dans un monde imaginaire et merveilleux où les pertes et les facteurs parasites n'existaient pas. Hélas, la vie n'est pas ainsi faite et nous allons revenir à la réalité.
Dans ce chapitre, nous allons déterminer la fréquence de résonance d'un circuit et son facteur de qualité Q.

Nous avions pris l'habitude de raisonner en alternatif comme en continu à propos des composants. En continu une résistance est une résistance, il n' y a rien de mystérieux. En alternatif une résistance n'est pas seulement une résistance, cela peut aussi devenir une self non négligeable quand la fréquence croît et en même temps une capacité. Un condensateur peut s'avérer selfique et une inductance n'est jamais pure car elle est aussi résistive. Plus ennuyeux une self possède une capacité plus ou moins répartie entre spires.
Bref, les choses ne sont pas aussi simples qu'il y paraît.
Autre phénomène lié à l'alternatif, l'effet de peau (skin effect).
En continu le courant circule dans tout le corps des conducteurs, en alternatif le courant ne circule que sur la périphérie des conducteurs. De ce fait la résistance ohmique de ces conducteurs n'est pas constante mais croît avec la fréquence.

le condensateur réel

L'inductance réelle

freqre1.gif (1453 octets)

freqre2.gif (1506 octets)

La fréquence maximale d'utilisation d'un tel condensateur est limitée par l'inductance série LS qui peut annuler la réactance capacitive CP et/ou résonner avec CP

CP est la capacité parasite distribuée entre spires, RS la résistance série, RP est la résistance distribuée le long de la bobine. Aux basses fréquence notre self est fortement capacitive

Dans ce qui suivra, nous considérons tout ceci sous la forme d'une seule et unique résistance qui prendra en compte toutes les résistance parasites

Reprenons notre circuit série :

serieca8.gif (1480 octets)

Nous voici face à notre classique circuit série. Ici c'est la fréquence du générateur qui est variable et nous allons la faire varier de 5 à 85 MHz.
A chaque fois nous calculerons les réactances du condensateur, de la self ce qui nous permettra de calculer l'impédance du circuit. Z et U connues, nous calculerons I et la tension aux bornes de L et C. OK ?

Valeurs des éléments du circuit:
L= 1 µH
C = 10 pF
R = 50 W
f = variable de 5 à 85 MHz
U = 100 V

MHz	5	20	50.3	70	85
XL	31	126	316	440	534
XC	3183	796	316	227	187
Z	3152	671	50	218	350
I (A)	0.0317	0.149	2	0.458	0.285

Utilisez la feuille de calcul Excel pour effectuer ces calculs.
Bon maintenant que nous avons ces données, calculons les tensions aux bornes de R, C et L en appliquant simplement la loi d'Ohm qui dit que
U= ZI, U= Xc.I et U= Xl.I

MHz	5	20	50.3	70	85
UL	0.98	18.8	632	201.5	152.2
Uc	100.9	118.6	632	104	53.3
UR	1.858	7.45	100	22.9	14.25

Nous constatons que notre circuit résonne sur 50.3 MHz quand les réactances Xl=Xc, rien de nouveau.
Nous constatons également que la tension est très importante, à la résonance, aux bornes de L et C.
Pouvons nous interpréter cela ?

Tout se passe comme si nous avions un coefficient multiplicateur de la tension fournie par le générateur.
Poursuivons dans cette voie:
A la résonance nous avons aux bornes de L et de C une tension de 632 V. Notre générateur alimente le montage sous une tension de 100V. Faisons le ratio, il vient
              632
ratio1 = _____ = 6.32
              100

Si nous observons attentivement nos chiffres dans les tableaux ci-dessus et que nous fassions le même ration mais pour la self et la résistance nous trouvons :
                316
ratio2= _______ = 6.32
                50

Bingo ! Nous mettons en évidence un coefficient multiplicateur qui se manifeste à la résonance. Ce coefficient est connu sous le nom de coefficient de qualité du circuit, on l'appelle également le Q du circuit.

Quantification de Q pour un circuit SERIE

          XL
Q =    ____
           R

avec Xl et R en W
Grandeur sans unité

Quantification de Q pour un circuit PARALLELE

          R
Q =    ____
          X

On constate que c'est l'inverse d'un circuit. A la résonance Xl = Xc, on prendra pour la calcul indifféremment l'une ou l'autre

Voici l'allure de la courbe du courant dans notre circuit. Les points de mesure ne sont pas nombreux ce qui explique ce tracé un peu taillé à coups de serpe.
Nous savons que le courant est limité, pour le circuit série, par la résistance globale du circuit (parasite + ohmique).
Dans notre cas nous l'avons évaluée à 50 W. Si nous avions eu seulement 25 W de résistance l'allure de la courbe eut été différente

Voici la nouvelle courbe avec une résistance globale de 25 W.
On constate :
1 - Que le courant est bcp plus important (rapport des résistances)
2- Que la courbe est bcp plus raide
(en rose la précédente)

Ceci va nous amener vers un nouveau concept qui est la bande passante.
(entre parenthèses, vous en entendez bcp parler, vous qui êtes internaute, sachez qu'il serait préférable de parler de débit de connexion que de bande passante...)

Définition :

La bande passante sera l'écart de fréquence compris entre les deux points ou le maximum de tension diminue de 3dB

Nous n'avons pas défini le décibel, retenez pour le moment que 3 dB correspondent à une chute de l'amplitude de 3/10.

Voyons cela en images

freqre5.gif (4467 octets)

Nous reconnaissons notre courbe de courant du circuit série résonant à 50 MHz.
En bleu la courbe avec un Q de 12.64
En rose la courbe avec un Q de 6.32.

Nous avons tracé les points ou l'amplitude chute de 3 dB et projeté ces points sur l'axe des fréquences.

Nous remarquons que le circuit qui possède le Q le plus élevé est celui qui a la bande passante la plus faible, donc celui qui est le plus sélectif.

La sélectivité sera souvent recherchée dans nos circuits.

Nous écrirons que la bande passante est égale au quotient de la fréquence de résonance par le coefficient de qualité du circuit

              f0
B =   __________
               Q

Avec B en MHz
F0 en MHz
Q grandeur sans unité

Cette notion de sélectivité des circuit est importante, dans nos montages nous aurons soit besoin de beaucoup de sélectivité, ce qui impliquera des circuits à fort Q, soit au contraire des systèmes à large bande demandant des coefficients de qualité bas.

Nos circuits résonnent, nous le mesurons, nous le constatons mais sur quelle fréquence ?

Nous avons déjà dit que la condition de résonance était liée, que ce soit pour les circuits série ou parallèle à l'annulation mutuelle des réactance. Ceci ne signifie pas qu'il n'y ai pas de réactance, bien au contraire, cela veut dire les ces réactances sont égales et opposées.

en termes mathématiques :
               1
Lw   =    ____
              Cw

Réécrivons notre équation comme suit :
Ce sera la condition de résonance

LC w² = 1

Sachant que w = 2 p f nous pouvons écrire :

LC 4 p² f² = 1       ou encore

                1
f² =   ___________
          LC 4 p²

extrayons la racine pour obtenir f et nous obtenons:

Cette formule est plus connue sous le nom de formule de Thomson et vous démontre que la fréquence de résonance d'un circuit LC dépend hormis la constante 2p de la valeur de la self et du condensateur.

freqre6.gif (1330 octets)

Approche pratique du calcul de la fréquence de résonance

La formule ci-dessus n'est pas forcément très commode à manipuler avec son inverse et sa racine. En y regardant bien, on voit que 1/2 p est une constante et que nous pouvons modifier la formule pour la rendre plus pratique, plus particulièrement dans le cadre d'un examen. Nous pouvons également utiliser un coefficient multiplicateur de manière à n'utiliser que des unités courantes comme le pF, le µH et le MHz. Tout ce conduit à retenir :

C L f ²= 25330

Nous venons de voir un des phénomènes les plus exploités en radioélectricité. Retenez bien la formule pratique qui vous évietra le jour "J" de grandes opérations sur votre calculette.+

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