Un quadripôle est défini par sa fonction de transfert : celle-ci est une caractéristique intrinsèque au quadripôle. On a :
La fonction complexe H(j
) est ce qu'on appelle la réponse harmonique du système : pour chaque pulsation (donc pour chaque fréquence f ), H(j) définit le rapport des amplitudes du signal de sortie par rapport au signal d'entrée
(le gain du quadripôle), et le déphasage entre la sortie et l'entrée.
La représentation de bode est l'ensemble des deux diagrammes représentant le gain
et le déphasage en fonction de la fréquence du quadripôle étudié
L'impédance complexe du condensateur s'écrit :
Dans ce cas, la fonction de transfert est facile à calculer, on applique simplement la formule du pont diviseur :
soit, en multipliant haut et bas par jC :
si on pose o = 1/RC, on obtient :
Cette expression est complexe (au sens mathématique du terme !), on va donc en tirer le module (gain) et l'argument (déphasage).
Le gain est égal à :
et le déphasage :
(revoir les notions de base du calcul sur les nombres complexes)
Il y a deux tracés : le gain en fonction de la fréquence, et la phase en fonction de la fréquence.
L'axe fréquentiel est logarithmique ; pour le tracé du gain, on choisira le gain en dB, qui est aussi logarithmique. On verra que le tracé devient alors très lisible, car composé majoritairement de tronçons linéaires.
Pour matérialiser ces tronçons linéaires, on va d'abord tracer le diagramme asymptotique.
Pour ceci, il faut commencer par identifier tous les pôles (valeurs de qui annulent le dénominateur de H) et les zéros (valeurs de qui annulent le numérateur de H), et les classer par ordre croissant.
On va ensuite étudier la fonction de transfert en faisant des approximations. Imaginons
qu'on ait une fonction à 2 pôles 1 < 2 . On va traiter les cas suivants :
<< 1
1 << << 2
2 <<
Pour chacune de ces conditions (qui peuvent être assez approximatives, comme la deuxième), on va simplifier le gain de la fonction de transfert.
Dans notre exemple, on a une fonction de transfert à un pôle. On va étudier les cas suivants :
<< o : le terme en (/o)2 est très petit devant 1, et |H| devient égal à :
>> o : le terme en (/o)2 est très grand devant 1, et |H| devient égal à :
La conversion en décibels obéit à la formule :
Dans le premier cas ( << o), |H|=1, donc |H|dB=0.
Dans le deuxième cas ( >> o), on a :
On a ainsi l'équation de deux asymptotes qui vont nous permettre de faire un tracé rapide et souvent suffisamment précis pour être exploitable.
Il reste à tracer ces asymptotes pour les divers tronçons fréquentiels délimités par les pôles et les zéros.
Dans notre exemple, si le premier cas est trivial (droite |H|dB=0), le deuxième appelle quelques remarques :
on peut calculer la valeur du gain pour = o : dans ce cas, |H|dB=0.
comme l'axe fréquentiel est logarithmique, le terme en -20 log est l'équation d'une droite. La pente est simple à déterminer : quand la fréquence
(ou la pulsation, ce qui revient au même) est multipliée par 10, on ajoute -20dB :
on a une pente de -20dB/décade. Un terme en 2 (deux pôles, système du deuxième ordre) aurait donné une pente de -40dB/décade, et
ainsi de suite.
Le diagramme asymptotique est le suivant :
Le diagramme log-log pouvait donc peut-être rebuter au départ, mais on s'aperçoit qu'en fait, il fait vraiment parler la fonction de transfert. Un diagramme linéaire n'apporte pas du tout ces informations.
Le tracé complet du gain nécessite un calcul plus précis de quelques points. Une valeur
remarquable est celle obtenue pour = o :
Le tracé est le suivant :
On voit que la différence est minime par rapport au tracé asymptotique.
Le tracé de la phase est le suivant :
Une valeur remarquable de la phase est la valeur de -45° pour = o.
Le tracé de bode est un outil puissant et simplificateur : quand on a des quadripôles en cascade, les gains en dB des fonctions de transfert s'ajoutent (ce sont des log !) : il suffit de tracer les gains de chaque quadripôle séparément, et ensuite de les additionner (il suffit d'additionner les pentes). On trace ainsi très vite la réponse de quadripôles relativement complexes.